(2013•綿陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x),若對(duì)給定的三角形ABC,它的三邊的長(zhǎng)a、b、c均在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),都有f(a)、f(b)、f(c)也為某三角形的三邊的長(zhǎng),則稱f(x)是△ABC的“三角形函數(shù)”.下面給出四個(gè)命題:
①函數(shù)f1(x)=
x
,x∈(0,+∞)是任意三角形的“三角形函數(shù)”;
②若定義在(O,+∞)上的周期函數(shù)f2(x)的值域也是(0,+∞),則f2(x)是任意三角形的“三角形函數(shù)”;
③若函數(shù)f3(x)=x3-3x+m在區(qū)間(
2
3
,
4
3
)上是某三角形的“三角形函數(shù)”,則m的取值范圍是(
62
27
,+∞)
④若a、b、c是銳角△ABC的三邊長(zhǎng),且a、b、c∈N+,則f4(x)=x2+lnx(x>0)是△ABC的“三角形函數(shù)”.
以上命題正確的有
①④
①④
(寫出所有正確命題的序號(hào))
分析:判斷函數(shù)f(x)是不是“三角形函數(shù)”,只須對(duì)任意的三角形,設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則a+b>c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,判斷f(a),f(b),f(c)是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù),即任意兩邊之和大于第三邊即可.
①f1(x)=
x
中,設(shè)△的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a+b>c,有f(a)+f(b)=
a
+
b
a+b
c
=f(c);
②f2(x)中,舉反例說明命題不成立;
③f3(x)中,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在x∈(
2
3
,
4
3
)上的增減性并比較大小,從而確定m的取值范圍;
④銳角△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c,設(shè)a≤c,b≤c,驗(yàn)證f(a)+f(b)>f(c)是否成立.
解答:解:①對(duì)于f1(x)=
x
,x∈(0,+∞),設(shè)△的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a+b>c,不妨設(shè)a≤c,b≤c,則f(a)+f(b)=
a
+
b
a+b
,
f(c)=
c
a+b
,∴f(a)+f(b)>f(c),命題正確;
②對(duì)于定義在(O,+∞)上的周期函數(shù)f2(x),值域是(0,+∞),設(shè)T(T>0)是f2(x)的一個(gè)周期,則存在n>m>0,有f2(m)=1,f2(n)=2,
取正整數(shù)λ>
n-m
T
,則λT+m,λT+m,n,是△的三邊,又f2(λT+m)=1,f2(λT+m)=1,f2(n)=2不能組成三角形,∴命題錯(cuò)誤;
③對(duì)于函數(shù)f3(x)=x3-3x+m,∵f3(x)=3x2-3,∴f3(x)在(-1,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),又x∈(
2
3
4
3
),
∴f3(1)<f3
2
3
)<f3
4
3
);要使f3(x)是某三角形的“三角形函數(shù)”,須f3
4
3
)=(
4
3
)
3
-3×
4
3
+m>0,∴m>
44
27
,∴命題錯(cuò)誤;
④對(duì)于銳角△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c,設(shè)a≤c,b≤c,∴c<a+b≤2c;∴l(xiāng)n(a+b)>lnc,有a2+b2-c2>0,a、b、c∈N+,
∴當(dāng)a≥2,且b≥2時(shí),有0<
1
a
+
1
b
≤1;∴
1
1
a
+
1
b
≥1,即ln
1
1
a
+
1
b
≥0,∴l(xiāng)n
ab
a+b
≥0;即ln(ab)-ln(a+b)≥0,∴l(xiāng)na+lnb≥ln(a+b)>lnc;
當(dāng)a=1時(shí),b=2,c=2;當(dāng)a=1時(shí),b=1,c=1;
綜上,知f(a)+f(b)>f(c);命題正確.
故答案為:①④
點(diǎn)評(píng):本題通過命題真假的判定,考查了新定義下的函數(shù)模型的應(yīng)用問題,是比較容易出錯(cuò)的題目.
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1
2
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x2
4
-
y2
12
=1
與雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1
是“相近雙曲線”,則
n
m
的取值范圍是
[
4
21
,
4
5
]∪[
5
4
,
21
4
]
[
4
21
,
4
5
]∪[
5
4
,
21
4
]

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3
,且
AB
BC
=6
,
AB
BC
的夾角為θ.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
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13
x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求曲線C上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍;
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