Question

如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：DM⊥EB；
（Ⅱ）設(shè)二面角M-BD-A的平面角為β，求cosβ．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別以直線AE，AB，AD為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CB=a，求出與的坐標(biāo)，然后計(jì)算它們的數(shù)量積為0，從而得到DM⊥EB；
（II）先分別求出平面MBD的法向量和取z=2得平面MBD的一非零法向量然后利用空間向量夾角公式求出法向量的夾角，從而求出二面角的平面角的余弦值．
解答：解：分別以直線AE，AB，AD為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CB=a，
則A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）
所以．
（Ⅰ）：
．
∴，即DM⊥EB．
（Ⅱ）解：設(shè)平面MBD的法向量為，
由，，得
⇒
取z=2得平面MBD的一非零法向量為，
又平面BDA的一個(gè)法向量．
∴，
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求平面間的夾角，以及利用空間向量度量二面角的平面角等有關(guān)問題，屬于中檔題．