Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足對(duì)任意a，b∈R，都有f（a+b²）=f（a）+2f²（b）成立，則f（2011）=________．

Answer 1

0或
分析：本題利用賦值法解決，令a=b=0得：f（0）=f（0）+2f²（0）?f（0）=0；令a=0，b=1得：f（1）=f（0）+2f²（1）?f（1）=0或f（1）=，令a=n，b=1得：f（n+1）=f（n）+2f²（1），{f（n）}構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果．
解答：令a=b=0得：
f（0）=f（0）+2f²（0）?f（0）=0；
令a=0，b=1得：
f（1）=f（0）+2f²（1）?f（1）=0或f（1）=
令a=n，b=1得：
f（n+1）=f（n）+2f²（1）
當(dāng)f（1）=0時(shí)，
f（n+1）=f（n）
則f（2011）=0；
當(dāng)f（1）=時(shí)
f（n+1）=f（n）+
構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則f（2011）=f（1）+2010×=
則f（2011）=0或
故答案為：0或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了數(shù)列的知識(shí)．解答的關(guān)鍵是利用賦值法解決問(wèn)題．