已知函數(shù)f(x)=log2(2x+1)．
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記f-1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)，求函數(shù)m=f-1（x）-f（x）在[1，2]上的值域．
分析：（1）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（2）先求得反函數(shù)f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），構(gòu)造函數(shù)m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）=log2
2x-1
2x+1
=log2(1-
2
2x+1
)，利用復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．
解答：證明：（1）任取x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2
2x1+1
2x2+1
，
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴0＜
2x1+1
2x2+1
＜1，log2
2x1+1
2x2+1
＜0，
∴f（x1）＜f（x2），即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.5 分
（不用定義證明本小題得0分）
（2）∵f-1(x)=log2(2x-1) (x＞0)，（3分）
∴m=f-1（x）-f（x）=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2
2x-1
2x+1
=log2(1-
2
2x+1
)，（2分）
當1≤x≤2時，
2
5
≤
2
2x+1
≤
2
3
，
∴
1
3
≤1-
2
2x+1
≤
3
5
，
∴m的取值范圍是[ log2(
1
3
)，  log2(
3
5
) ]．（3分）
點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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