Question

對(duì)于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)于任意x∈[a，b]均有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（ax+1）與g（x）=log₂x在區(qū)[1，2]上是接近的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、?[0，1]
• B、[2，3]
• C、[0，2）
• D、（1，4）

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知可得，f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|=|log₂

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，從而有

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立，只要求出函數(shù)a+

1

x

的最值，可求a的取值范圍．

解答： 解：由已知可得，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，|f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|≤1，
即|log₂

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，
從而有，

1

2

≤

ax+1

x

≤2，x∈[1，2]，
即

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立．
而a+

1

x

在[1，2]上遞減，即有a+

1

2

≤a+

1

x

≤a+1．
則有

1

2

≤a+

1

2

，且2≥a+1，
解得0≤a≤1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為切入點(diǎn)，主要考查了函數(shù)的恒成立問題與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化，解題中要注意在得到

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立時(shí)，要注意對(duì)函數(shù)a+

1

x

的最值求解是解決本題的關(guān)鍵．