Question

已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交橢圓于點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：為定值，并求面積的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/04/04/04/2015040404322231147895.files/image256.gif'>，所以，                         ………2分

所以 

        所以橢圓的方程為                    ………4分

  （Ⅱ）當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，

易得，的面積 …1分

當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

        則由 消元得，

所以，       ………3分

所以         ………4分

又是線段的垂直平分線，故方程為，          

同理可得         ………5分 

從而為定值。

…7分

方法一：由，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立，

所以的面積 。                    ………9分

所以，當(dāng)時(shí)，的面積有最小值。                ………10分

方法二：的面積

所以

       9       ………9分

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的面積有最小值。