Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的中心為O，右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，則的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：橢圓屬于解析幾何的版塊，常用解析法處理．所以我們要數(shù)形互化，把問題中的幾何最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值，運(yùn)用解析法，即“算”的辦法解決．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，|FA|與|OH|都可以用橢圓中一些基本的參量表示出來，例如，|FA|即為該橢圓右定點(diǎn)與右焦點(diǎn)間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，而|OA|即為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，|OF|即為橢圓的半焦距長(zhǎng)c，∴|FA|=a-c．當(dāng)完成這些工作后，我們只要對(duì)得到的表達(dá)式在其可行域內(nèi)求最值即可．
解答：解：依題意得，|FA|即為該橢圓右定點(diǎn)與右焦點(diǎn)間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，
又∵|OA|即為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，|OF|即為橢圓的半焦距長(zhǎng)c，
∴|FA|=a-c．
又∵H為橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，故|OH|即為橢圓中心到右準(zhǔn)線的距離，依準(zhǔn)線的定義知，|OH|=，則 =①
又∵橢圓的離心率e=，（0＜e＜1），從而c=ae，代入①，得 ==e（1-e）=-+（0＜e＜1），
當(dāng)且僅當(dāng)e=時(shí) 取得最值 ．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：最值問題是高考的熱點(diǎn)之一．常用的方法有構(gòu)建函數(shù)模型法，基本不等式法等．對(duì)于一元表達(dá)式，我們采用第一種方法，對(duì)于二元的則采用后者．本體看似是二元表達(dá)式，但通過e的代換后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)際是一元二次函數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)模型，一切問題也變得簡(jiǎn)單起來．