Question

已知命題p：?x∈[1，2]，ex-

1

2

x2-a≥0是真命題，命題q：?x∈R，x²+2ax-8-6a≤0 是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

[-4，-2]

．

Answer 1

分析：命題p：?x∈[1，2]，ex-

1

2

x2-a≥0是真命題時(shí)，等價(jià)于?x∈[1，2]，ex-

1

2

x2≥a時(shí)恒成立，進(jìn)一步可求左邊函數(shù)的最小值即可；命題q：根據(jù)一元二次不等式的解法，我們先求出?x∈R，使得x²+（a+2）x+1＜0是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，再利用補(bǔ)集的求法，即可得到命題q：?x∈R，使得x²+（a+2）x+1＜0是假命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍．綜上可得結(jié)論．

解答：解：由題意，命題p：?x∈[1，2]，ex-

1

2

x2-a≥0是真命題時(shí)，
∴?x∈[1，2]，ex-

1

2

x2≥a時(shí)恒成立，
令y=ex-

1

2

x2，∴y′=e^x-x，
∴?x∈[1，2]，y′＞0
∴x=1時(shí)，ymin=e-

1

2

，
∴a≤e-

1

2

；
因?yàn)槊�題q：?x∈R，x²+2ax-8-6a≤0為真命題，
∴△=4a²+24a+32≥0，
即（a+4）（a+2）≥0，
 即a≤-4，或a≥-2
∴命題q：?x∈R，x²+2ax-8-6a≤0”是假命題時(shí)，a的取值范圍是[-4，-2]
綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是[-4，-2]，
 故答案為：[-4，-2]

點(diǎn)評：本題以命題為載體，考查不等式的解法，考查分析解決問題的能力，有一定的綜合性．