Question

曲線y=sin（x-

π

4

）（0≤x≤

3π

4

）與坐標(biāo)軸圍成的面積是

2-

2

2

．

Answer 1

分析：將y=sin（x-

π

4

）展開，得當(dāng)0＜x＜

π

4

時(shí)，函數(shù)值為負(fù)數(shù)；當(dāng)

π

4

＜x＜

3π

4

時(shí)，函數(shù)值為負(fù)數(shù)．因此所求圖形的面積為函數(shù)y=-sin（x-

π

4

）在區(qū)間[0，

π

4

]上的積分值，加上y=sin（x-

π

4

）在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上的積分值所得的和．最后根據(jù)積分的計(jì)算公式和運(yùn)算法則加以計(jì)算，可得所求圖形的面積．

解答：解：∵y=sin（x-

π

4

）=sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx-cosx）
∴當(dāng)0＜x＜

π

4

時(shí)，sinx＜cosx，函數(shù)值為負(fù)數(shù)；
當(dāng)

π

4

＜x＜

3π

4

時(shí)，sinx＞cosx，函數(shù)值為正數(shù)．
因此，所求圖形的面積為
S=

∫

π 4 0

[-sin（x-

π

4

）]dx+

∫

3π 4 π 4

sin（x-

π

4

）dx
=

2

2

[

∫

π 4 0

（-sinx+cosx）dx+

∫

3π 4 π 4

（sinx-cosx）]dx
=

2

2

[（cosx+sinx）

|

π 4 0

+（-cosx-sinx）

|

3π 4 π 4

]
=

2

2

[（

2

-1）-（-

2

）]=2-

2

2

故答案為：2-

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題求函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積，著重考查了定積分的計(jì)算公式和運(yùn)算法則，以及三角函數(shù)恒等變形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．