Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.

【解析】

（1）當時，，求得其導函數(shù) ，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）由已知得，得出導函數(shù)，并得出導函數(shù)取得正負的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，，，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，分析其導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.

（1）當時，，

所以 ，，

所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；

（2）由已知得，，令，得，

所以當時，，當時，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（3）當時，，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，且時，，當時，，，

所以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，

構(gòu)造函數(shù)，則，

當時，所以，

在上單調(diào)遞減，且，，

由 ，在上單調(diào)遞增，

.

所以.