【題目】試討論函數(shù)f(x)= 在區(qū)間[0,1]上的單調(diào)性.

【答案】解:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),理由如下:
證法一:設(shè)x1、x2∈﹣1,1]且x1<x2 , 即﹣1≤x1<x2≤1.
f(x1)﹣f(x2)= = =﹣ ,
∵x2﹣x1>0, >0,
∴當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),x1+x2>0,
那么f(x1)>f(x2).
故f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
證法二:∵函數(shù)f(x)= ,令y= ,u=1﹣x2 ,
則y′= ,u′=﹣2x.
∴f′(x)= ,
當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f′(x)≤0恒成立,f(x)>0恒成立
當(dāng)x=1時(shí),f(x)=0
故f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)
【解析】f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),理由如下:
證法一:設(shè)x1、x2∈﹣1,1]且x1<x2 , 作差判斷出f(x1)>f(x2)可得:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
證法二:求導(dǎo),根據(jù)當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f′(x)≤0恒成立,f(x)>0恒成立,當(dāng)x=1時(shí),f(x)=0可得:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

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