Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ （x＞0，m＞0）和函數(shù)g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．問：
（1）證明：f（x）在（ ，+∞）上是增函數(shù)；
（2）把函數(shù)g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|寫成分段函數(shù)的形式，并畫出它們的圖象，總結(jié)出g2（x）的圖象是如何由g1（x）的圖象得到的．請利用上面你的結(jié)論說明：g（x）的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱；
（3）當(dāng)m=1，b=2，c=0時(shí)，若f（x）＞g（x）對(duì)于任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在 內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，且x1＜x2，則△x=x2﹣x1＞0， ，

因?yàn)? ， ，所以x1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，

所以f（x）在 是增函數(shù)

（2）解： ， ；

g2（x）的圖象是由g1（x）的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，

先考慮函數(shù)h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），

在h（x）的定義域內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則﹣x也在其定義域內(nèi)，

因?yàn)閔（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，

即其圖象的對(duì)稱軸為x=0，

由上述結(jié)論，g（x）的圖象是由h（x）的圖象向右平移b個(gè)單位得到，

所以g（x）的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱．

（3）解：由題意可知 對(duì)于任意的x＞0恒成立．

當(dāng)x≥2時(shí)，不等式化為 ，

即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0對(duì)于任意x≥2恒成立，

當(dāng)a﹣1=0時(shí)，即a=1，不等式化為2x+1＞0，滿足題意；

當(dāng)a﹣1≠0時(shí)，由題意 進(jìn)而對(duì)稱軸 ，

所以（a﹣1）22﹣2a2﹣1＜0，解得0＜a＜1；

結(jié)合以上兩種情況0＜a≤1．

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，不等式 ，

即（a+1）x2﹣2ax+1＞0對(duì)于任意0＜x＜2恒成立，

由題意 進(jìn)而對(duì)稱軸 ，

所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得 ，

所以 ．

綜上所述，a的取值范圍為（0，1]．

【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可直接證明f（x）在 是增函數(shù)．；（2）由題意知g2（x）的圖象是由g1（x）的圖象向右平移1個(gè)單位得到的；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)與平移可證明g（x）的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱；（3）利用轉(zhuǎn)化思想：由題意可知 對(duì)于任意的x＞0恒成立．當(dāng)x≥2時(shí)，不等式化為 ，
即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0對(duì)于任意x≥2恒成立．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．