Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ （x＞0，m＞0）和函數(shù)g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．問：
（1）證明：f（x）在（ ，+∞）上是增函數(shù)；
（2）把函數(shù)g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|寫成分段函數(shù)的形式，并畫出它們的圖象，總結出g2（x）的圖象是如何由g1（x）的圖象得到的．請利用上面你的結論說明：g（x）的圖象關于x=b對稱；
（3）當m=1，b=2，c=0時，若f（x）＞g（x）對于任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在 內任取兩個實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，則△x=x2﹣x1＞0， ，

因為 ， ，所以x1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，

所以f（x）在 是增函數(shù)

（2）解： ， ；

g2（x）的圖象是由g1（x）的圖象向右平移1個單位得到的，

先考慮函數(shù)h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），

在h（x）的定義域內任取一個實數(shù)x，則﹣x也在其定義域內，

因為h（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，

即其圖象的對稱軸為x=0，

由上述結論，g（x）的圖象是由h（x）的圖象向右平移b個單位得到，

所以g（x）的圖象關于x=b對稱．

（3）解：由題意可知 對于任意的x＞0恒成立．

當x≥2時，不等式化為 ，

即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0對于任意x≥2恒成立，

當a﹣1=0時，即a=1，不等式化為2x+1＞0，滿足題意；

當a﹣1≠0時，由題意 進而對稱軸 ，

所以（a﹣1）22﹣2a2﹣1＜0，解得0＜a＜1；

結合以上兩種情況0＜a≤1．

當0＜x＜2時，不等式 ，

即（a+1）x2﹣2ax+1＞0對于任意0＜x＜2恒成立，

由題意 進而對稱軸 ，

所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得 ，

所以 ．

綜上所述，a的取值范圍為（0，1]．

【解析】（1）利用函數(shù)單調性的定義可直接證明f（x）在 是增函數(shù)．；（2）由題意知g2（x）的圖象是由g1（x）的圖象向右平移1個單位得到的；根據(jù)函數(shù)的性質與平移可證明g（x）的圖象關于x=b對稱；（3）利用轉化思想：由題意可知 對于任意的x＞0恒成立．當x≥2時，不等式化為 ，
即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0對于任意x≥2恒成立．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．