Question

關(guān)于x的方程ax²-2（a+1）x+a-1=0，求a為何值時(shí)：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正根一負(fù)根；
（3）兩根都大于1；
（4）一根大于1，一根小于1．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用根的判別式，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求解即可．

解答： 解：（1）方程有一根時(shí)，a=0或△=4（a+1）²-4a（a-1）=12a+4=0，
∴a=0或a=-

1

3

；
（2）方程有一正根一負(fù)根時(shí)，

a-1

a

＜0，
∴0＜a＜1；
（3）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax²-2（a+1）x+a-1，則兩根都大于1時(shí)，a＞0，

△=12a+4≥0 a-2(a+1)+a-1＞0 a+1 a ＞1

無(wú)解或a＜0，

12a+4≥0 a-2(a+1)+a-1＜0 a+1 a ＞1

，∴a＞0；
（4）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax²-2（a+1）x+a-1，則一根大于1，一根小于1時(shí)，
∵f（1）=a-2（a+1）+a-1=-3＜0，
∴a＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．