Question

已知圓.（14分）
(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；
(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值；
(3)在(2)的條件下，求以為直徑的圓的方程．

Answer 1

(1) (2) (3)

試題分析：（1）把方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故有，由此解得的范圍．
（2）由直線方程與圓的方程聯(lián)立消,把直線代入圓的方程化簡(jiǎn)到關(guān)于的二次方程,設(shè)．∵，故 ①，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得,，代入①求得的值.
（3）由(2)可以求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),由兩點(diǎn)間距離公式可以求出線段的長(zhǎng)度,再由中點(diǎn)公式可以求出圓心．可以得到以直徑的圓的方程．當(dāng)然也可以圓的直徑式直接寫(xiě)出圓的方程.
試題解析：
(1)方程，可化為
，
∵此方程表示圓，
∴，即.
(2)
消去得，
化簡(jiǎn)得.
設(shè)，則

由得
即，
∴.
將兩式代入上式得
，
解之得.
(3)由，代入，
化簡(jiǎn)整理得，解得.
∴.
∴，
∴的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
又，
∴所求圓的半徑為.
∴所求圓的方程為.