Question

18．已知0＜x＜$\frac{1}{2}$，求函數(shù)y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)y′=$\frac{2（x+1）x（1-2x）-（x+1）^{2}（1-4x）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$=$\frac{（x+1）（5x-1）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$，從而由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答 解：∵y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$，
∴y′=$\frac{2（x+1）x（1-2x）-（x+1）^{2}（1-4x）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$
=$\frac{（x+1）（5x-1）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{5}$）時(shí)，y′＜0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，y′＞0，
故函數(shù)y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$在（0，$\frac{1}{5}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)；
故函數(shù)y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值為$\frac{（\frac{1}{5}+1）^{2}}{\frac{1}{5}×（1-2×\frac{1}{5}）}$=12；
故函數(shù)y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．