Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點(diǎn)，，橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）又題意知，，及即可求得，從而得橢圓方程.

（2）分三種情況：直線斜率不存在時(shí)，的斜率為0時(shí)，的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達(dá)定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.

（1）由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對(duì)稱性可知，，

∵過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

又，解得.

∴橢圓的方程為

（2）由（1）可知圓的方程為，

（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，

此時(shí)

（ii）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，.

（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則.

所以，

（注：的長度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計(jì)算.）

由可得直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去，

得

設(shè)的橫坐標(biāo)為，則.

.

綜上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范圍是.