Question

12．一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm²）為$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是側(cè)面垂直于底面的三棱錐，
求出各條棱長，再計算各個面的三角形面積，即得全面積．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得
該幾何體是如圖所示的三棱錐S-ABC，且側(cè)面SAC⊥底面ABC；
又SD⊥AC于D，∴SD⊥底面ABC；
又BE⊥AC與E，∴AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
SC=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
SA=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
 AC=4，BD=$\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴SB=$\sqrt{{2}^{2}{+（\sqrt{10}）}^{2}}$=$\sqrt{14}$；
∴△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
△SAC的面積為S_△SAC=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
△SAB的面積為S_△SAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{14}$×$\sqrt{{（\sqrt{13}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{14}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{133}}{2}$，
又cos∠SCB=$\frac{{（\sqrt{5}）}^{2}{+（\sqrt{13}）}^{2}{-（\sqrt{14}）}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{13}}$=$\frac{2}{\sqrt{65}}$，
∴sin∠SCB=$\sqrt{1{-（\frac{2}{\sqrt{65}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{61}{65}}$，
∴△SBC的面積為S_△SBC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{\frac{61}{65}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$；
∴該三棱錐的全面積為
S_△ABC+S_△SAC+S_△SAB+S_△SCB=6+4+$\frac{\sqrt{133}}{2}$+$\frac{\sqrt{61}}{2}$=$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²．
故答案為：$\frac{20+\sqrt{133}+\sqrt{61}}{2}$cm²．

點評 本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，也考查了三角形面積的計算問題，是綜合性題目．