Question

形狀如圖所示的三個游戲盤中（圖（1）是正方形，M、N分別是所在邊中點，圖（2）是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心，圖（3）是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次水平搖動三個游戲盤，當小球靜止后，就完成了一局游戲．

（Ⅰ）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？

（Ⅱ）用隨機變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件個數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件個數(shù)之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望．

 

Answer 1

（I）；（II）分布列為

ξ	1	3
P

∴數(shù)學期望Eξ=1×+3×=．

【解析】

試題分析：（I）先根據(jù)幾何概型的概率公式得到在三個圖形中，小球停在陰影部分的概率，因為三個小球是否停在陰影部分相互之間沒有關(guān)系，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．

（II）根據(jù)一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，當變量等于3時，表示三個小球都在陰影部分或三個小球都不在陰影部分，這兩種情況是互斥的，得到概率，分布列和期望．

試題解析：

（I）“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A1、A2、A3，

由題意知，A1、A2、A3互相獨立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=．

∴P（A1 A2 A3）=P（A1）P（A2） P（A3）==；

（II）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應的小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則

P（ξ=3）=P（A1 A2 A3）+P（）=+=

P（ξ=1）=1﹣=

所以分布列為

ξ	1	3
P

∴數(shù)學期望Eξ=1×+3×=．

考點：１．幾何概型的概率公式；2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率；3.離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望．