Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=4a_n-4
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得c_n=n（n+1），利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵3S_n=4a_n-4，∴當(dāng)n=1時(shí)，3a₁=4a₁-4，解得a₁=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1=4a_n-1-4，∴3a_n=4a_n-4a_n-1，化為a_n=4a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，∴${a}_{n}={4}^{n}$．
（2）c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=2+4+6+…+2n
=$\frac{n（2+2n）}{2}$
=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$
=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．