Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）證明：0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：|b|≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|x₁|+|x₂|=2，即可證明0＜a≤1；
（Ⅱ）設(shè)g（a）=4a²-4a³，證明g（a）在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，即可得到結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．…（3分）
∵a＞0，∴
∴
∵|x₁|+|x₂|=2
∴即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）設(shè)g（a）=4a²-4a³，則g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由得g（a）在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，…（11分）
∴
∴…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．