【題目】已知函數(shù).
(1)求時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在定義域上的零點個數(shù).
【答案】(1)增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當(dāng)時,函數(shù)沒有零點,當(dāng)或時函數(shù)有1個零點;當(dāng)時函數(shù)有2個零點.
【解析】試題分析:(1)將代入,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,得單調(diào)遞增區(qū)間是,由,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2)通過討論的范圍,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值,從而得到的范圍.
試題解析:(1) 在定義域是, .
當(dāng)時, .
當(dāng)時, ,當(dāng)時,由,
所以單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)∵.
(i)當(dāng)時, , 在區(qū)間上單調(diào)遞減,
當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
所以在區(qū)間上只有一個零點.
(ii)當(dāng)時, 恒成立,
所以在區(qū)間上沒有零點.
(iii)當(dāng)時,當(dāng)時, , 在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, , 在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時, 取極大值.
①當(dāng)時,極大值,
在區(qū)間上有1個零點.
②當(dāng)時,極大值,
在區(qū)間上沒有零點.
③當(dāng)時,極大值,
當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
所以在區(qū)間上有2個零點,
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)沒有零點,當(dāng)或時函數(shù)有1個零點;當(dāng)時函數(shù)有2個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系.某重點高中數(shù)學(xué)教師對高三年級的50名學(xué)生進行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于15小時的有22人,余下的人中,在高三年級模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分鐘的占,統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表:
分數(shù)大于等于120分鐘 | 分數(shù)不足120分 | 合計 | |
周做題時間不少于15小時 | 4 | 22 | |
周做題時間不足15小時 | |||
合計 | 50 |
(Ⅰ)請完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;
(Ⅱ)(。┌凑辗謱映闃樱谏鲜鰳颖局,從分數(shù)大于等于120分和分數(shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
(ii) 若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機抽取人,求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),設(shè)為曲線在點處的切線,其中.
(Ⅰ)求直線的方程(用表示);
(Ⅱ)求直線在軸上的截距的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)直線分別與曲線和射線()交于, 兩點,求的最小值及此時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為在以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立的極坐標系中,點的坐標為.
(1)將點的坐標化為直角坐標系下的坐標,橢圓的參數(shù)方程化為普通方程;
(2)直線與橢圓交于, 兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性,求實數(shù)的取值范圍;
(3)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“一帶一路”國際合作高峰論壇圓滿落幕了,相關(guān)話題在網(wǎng)絡(luò)上引起了網(wǎng)友們的高度關(guān)注,為此,21財經(jīng)APP聯(lián)合UC推出“一帶一路”大數(shù)據(jù)微報告,在全國抽取的70千萬網(wǎng)民中(其中為高學(xué)歷)有20千萬人對此關(guān)注(其中為高學(xué)歷).
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表,用獨立性檢驗的方法分析,能否有的把握認為“一帶一路”的關(guān)注度與學(xué)歷有關(guān)系?
高學(xué)歷(千萬人) | 不是高學(xué)歷(千萬人) | 合計 | |
關(guān)注 | |||
不關(guān)注 | |||
合計 |
參考公式: 統(tǒng)計量的表達式是,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為評估新教改對教學(xué)的影響,挑選了水平相當(dāng)?shù)膬蓚平行班進行對比試驗,甲班采用創(chuàng)新教法,乙班仍采用傳統(tǒng)教法,一段時間后進行水平測試,成績結(jié)果全部落在區(qū)間內(nèi)(滿分100分),并繪制頻率分布直方圖如圖所示,兩個班人數(shù)均為60人,成績80分及以上為優(yōu)良.
(1)根據(jù)以上信息填好聯(lián)表,并判斷出有多大的把握認為學(xué)生成績優(yōu)良與班級有關(guān)?
(2)以班級分層抽樣,抽取成績優(yōu)良的5人參加座談,現(xiàn)從5人中隨機選3人來作書面發(fā)言,求發(fā)言人至少有2人來自甲班的概率.
(以下臨界值及公式僅供參考)
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次猜獎游戲中,1,2,3,4四扇門里擺放了, , , 四件獎品(每扇門里僅放一件).甲同學(xué)說:1號門里是,3號門里是;乙同學(xué)說:2號門里是,3號門里是;丙同學(xué)說:4號門里是,2號門里是;丁同學(xué)說:4號門里是,3號門里是.如果他們每人都猜對了一半,那么4號門里是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時,若存在實數(shù)使得不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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