Question

12．若α，β是一直角三角形兩銳角的弧度數(shù)，則$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值為（　　）

• A． 9
• B． 18
• C． $\frac{9}{π}$
• D． $\frac{18}{π}$

Answer 1

分析 α，β是一直角三角形兩銳角的弧度數(shù)，可得α+β=$\frac{π}{2}$，α，β＞0．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵α，β是一直角三角形兩銳角的弧度數(shù)，
∴α+β=$\frac{π}{2}$，α，β＞0．
則$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{2}{π}$（α+β）$（\frac{4}{α}+\frac{1}{β}）$=$\frac{2}{π}（5+\frac{4β}{α}+\frac{α}{β}）$≥$\frac{2}{π}（5+2\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}）$=$\frac{18}{π}$，當(dāng)且僅當(dāng)α=2β=$\frac{π}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值為$\frac{18}{π}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．