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已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，M是它們的一個公共點，且∠F1MF2=
π
3
，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（　　）
A、2
B、
2
3
3
C、
4
3
3
D、4
考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：根據雙曲線和橢圓的性質和關系，結合余弦定理和柯西不等式即可得到結論．
解答： 解：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2
∵∠F1MF2=
π
3
，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos
π
3
，①
在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2-3r1r2，
即
3r1r2
4c2
=
1
e12
-1，②
在雙曲線中，①化簡為即4c2=4a12+r1r2，
即
r1r2
4c2
=1-
1
e22
，③
聯立②③得，
1
e12
+
3
e22
=4，
由柯西不等式得（1+
1
3
）（
1
e12
+
3
e22
）≥（1×
1
e1
+
1
3
×
3
e2
）2，
即（
1
e1
+
1
e2
）2≤
4
3
×4=
16
3
，
即
1
e1
+
1
e2
≤
4
3
3
，
當且僅當e1=
3
3
，e2=
3
時取等號．即取得最大值且為
4
3
3
．
故選C．
點評：本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關鍵．難度較大．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x丨1＜x≤3}，B={x丨x＜a}，若A⊆B，則實數a滿足的條件為（　�。�
A、a＞1B、a≥1
C、a≥3D、a＞3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x-1，
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）內是減函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b∈R且a+b=3，b＞0，則當
1
3|a|
+
|a|
b
取得最小值時，實數a的值是（　�。�
A、
3
2
B、-
3
2
C、-
3
2
或
3
4
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是周期函數，10是f（x）的一個周期，且f（2）=
2
，則f（22）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

投擲四枚不同的金屬硬幣A、B、C、D，假定A、B兩枚正面向上的概率均為
1
2
，另兩枚C、D為非均勻硬幣，正面向上的概率均為a（0＜a＜1），把這四枚硬幣各投擲一次，設X表示正面向上的枚數．
（1）若A、B出現一枚正面向上一枚反面向上與C、D出現兩枚正面均向上的概率相等，求a的值；
（2）求X的分布列及數學期望（用a表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設Sn為正項數列{an}的前n項和，且Sn=
1
4
（an+3）（an-1）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=
an+1
an
+
an
an+1
，求數列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知Sn是數列{an}的前n項和，且滿足Sn2=n2an+Sn-12（n≥2，n∈N+）又已知a1=0，an≠0，n=2，3，4…
（1）計算a2，a3，并求數列{a2n}的通項公式；
（2）若bn=（
1
2
）an，Tn為數列{bn}的前n項和，求證：Tn＜
7
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l的參數方程為
x=t-m
y=t
（t為參數），圓C的極坐標方程為：ρ2=2ρcosθ+3．
（1）若直線與圓相切，求實數m的值；
（2）當m=1時，求直線l截圓C所得的線段長．

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