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設橢圓E：的焦點在x軸上．

(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；

(2)設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．

 

（1）

（2）見解析

【解析】(1)因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為1，所以2a2－1＝，解得a2＝.

故橢圓E的方程為.

(2)證明　設P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.

由題設知x0≠c，則直線F1P的斜率kF1P＝，

直線F2P的斜率kF2P＝.

故直線F2P的方程為y＝(x－c)．

當x＝0時，y＝，即點Q坐標為.

因此，直線F1Q的斜率為kF1Q＝.

由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝.

化簡得＝－(2a2－1)．①

將①代入橢圓E的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即點P在定直線x＋y＝1上．

 

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