Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-2x-4，g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R）．
（1）當(dāng)x＞2時(shí)，求證：f（x）＞0；
（2）求證：對(duì)任意a∈R，函數(shù)g（x）必存在兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)g（x）兩個(gè)零點(diǎn)均比1小或另一零點(diǎn)比1小，另一個(gè)零點(diǎn)比1大，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合f（2）=0，可得當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0．
（2）分類討論可得二次函數(shù)g（x）的判別式大于零恒成立，從而得到對(duì)任意a∈R，函數(shù)g（x）必存在兩個(gè)零點(diǎn)．
（3）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，分別求得a的范圍，再取并集，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-2x-4，∴f′（x）=3x²-2，故當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）=3x²-2＞0，
故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
求得f（2）=8-4-4=0，可得當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0．
（2）對(duì)于二次函數(shù)g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R），它的判別式△=（a²-1）²-4（a-2）=a（a³-2a-4）+9，
當(dāng)a＞2時(shí)，由（1）可得 a³-2a-4＞0，∴△＞0；
當(dāng)a=2時(shí)，△=9＞0；
當(dāng)a＜2時(shí)，a-2＜0，△=（a²-1）²-4（a-2）＞0．
綜上可得，△＞0恒成立，故函數(shù)g（x）必存在兩個(gè)零點(diǎn)．
（3）若函數(shù)g（x）兩個(gè)零點(diǎn)均比1小，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）{=a}^{2}+a-2＞0}\\{-\frac{{a}^{2}-1}{2}＜1}\end{array}\right.$，求得a＜-2 或a＞1．
若一零點(diǎn)比1小，另一個(gè)零點(diǎn)比1大，則f（1）=a²+a-2＜0，求得-＜a＜1．
綜上可得要求的a的范圍是{a|a≠-2，且a≠1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．