【題目】如圖,在三棱錐中,已知是正三角形, 平面為的中點(diǎn), 在棱上,且.
(1)求三棱錐的體積;
(2)求證: 平面;
(3)若為中點(diǎn), 在棱上,且,求證: 平面.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中點(diǎn),連接,由題意證明,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面,則可得,即可證明結(jié)論;(3) 連接, ,設(shè),證明,則∥,即可證明結(jié)論.
試題解析:
(1)因?yàn)?/span>△是正三角形,且,
所以.
又⊥平面,
故==S△BCD.
(2)在底面中,取的中點(diǎn),連接,
因,故.
因,故為的中點(diǎn). 為的中點(diǎn),
故∥,則
故因平面平面,
故平面平面.
△是正三角形, 為的中點(diǎn),
故,故平面.
平面,故.
又,
故平面.
(3)當(dāng)時(shí),連接, .
設(shè),因為的中點(diǎn), 為中點(diǎn),
故為△的重心, .
因= = ,
故,
所以∥.
又平面平面,
所以∥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)與在處的切線互相垂直,求的值;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍;
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得對任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn),已知點(diǎn),過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn), 與關(guān)于軸對稱.
(1)求的方程;
(2)證明: 三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 是橢圓的頂點(diǎn), 是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn), .
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形中, , ,將沿折起,使得平面平面,如圖.
(1)求證: ;
(2)若為中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中且.設(shè).
()若,,,求方程在區(qū)間內(nèi)的解集.
()若函數(shù)滿足:圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,在處取得最小值,試確定、和應(yīng)滿足的與之等價(jià)的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)檢過后,某校為了解科班學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理學(xué)習(xí)情況,利用隨機(jī)數(shù)表法從全年極名理科生抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.已知學(xué)生考號的后三位分別為.
(Ⅰ)若從隨機(jī)數(shù)表的第行第列的數(shù)開始向右讀,請依次寫出抽取的前人的后三位考號;
(Ⅱ)如果題(Ⅰ)中隨機(jī)抽取到的名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表:
數(shù)學(xué)成績 | 87 | 91 | 90 | 89 | 93 |
物理成績 | 89 | 90 | 91 | 88 | 92 |
求這兩科成績的平均數(shù)和方差,并且分析哪科成績更穩(wěn)定。
附:(下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第行到第6行)
………
………
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過點(diǎn),且與圓相內(nèi)切.
(I)求動圓的圓心的軌跡方程;
(II)設(shè)直線(其中與(1)中所求軌跡交于不同兩點(diǎn),D,與雙曲線交于不同兩點(diǎn),問是否存在直線,使得向量,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.
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