【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,函數(shù)與在處的切線互相垂直,求的值;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍;
(3)是否存在正實數(shù),使得對任意正實數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率;當(dāng)時,,可知在處的切線斜率,同理可求得,然后再根據(jù)函數(shù)與在處的切線互相垂直,得,即可求出結(jié)果.
(2)易知函數(shù)的定義域為,可得,由題意,在內(nèi)有至少一個實根且曲線與x不相切,即的最小值為負(fù),由此可得,進而得到,由此即可求出結(jié)果. (3)令,可得,令,則,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,且在區(qū)間內(nèi)必存在實根,不妨設(shè),可得,(*),則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴,,將(*)式代入上式,得.使得對任意正實數(shù)恒成立,即要求恒成立,然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì),即可求出結(jié)果.
試題解析:
(1)當(dāng)時,,
∴在處的切線斜率,
由,得,∴,∴.
(2)易知函數(shù)的定義域為,
又,
由題意,得的最小值為負(fù),
∴.(注:結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到),
∴
∴,∴;
(3)令,其中,
則,
則,
則,
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,且在區(qū)間內(nèi)必存在實根,不妨設(shè),
即,可得,(*)
則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴,,
將(*)式代入上式,得.
根據(jù)題意恒成立,
又∵,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,
∴,
∴,代入(*)式,得,
即,又,
∴,∴存在滿足條件的實數(shù),且.
點睛:對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法, 一般通過變量分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,然后再構(gòu)造輔助函數(shù),利用恒成立;恒成立,即可求出參數(shù)范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|2≤x<5},C={x|x>a}.
(1)求A∩(UB);
(2)若A∪C=C,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是的奇函數(shù), 是常數(shù).
(1)求的值;
(2)用定義法證明是的增函數(shù);
(3)不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線斜率為1,求函數(shù)在上的最值;
(2)令,若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)且時,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力著老師講課時間的變化而變化,講課開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律\left(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中),經(jīng)過實驗分析得知:
(1)講課開始后多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?
(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較,何時學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)難題,需要講解24分鐘,并且要求學(xué)生的注意力至少達到180,那么經(jīng)過適當(dāng)安排,教師能否在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2015高考廣東,文19】設(shè)數(shù)列的前項和為,.已知,,,且當(dāng)
時,.
(1)求的值;
(2)證明:為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的圓臺中,是下底面圓的直徑,是上底面圓的直徑,是圓臺的一條母線.
(Ⅰ)已知,分別為,的中點,求證:平面;
(Ⅱ)已知,,求二面角的余弦值
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