Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-lnx，其中a＞

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），證明函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，解出即可；（2）由g（a）=f（x）_min=f（

1

2a

）=

1

4a

-ln

1

2a

，通過a的范圍，從而得出答案．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1 2a

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1 2a

，
∴f（x）在（0，

1 2a

）遞減，在（

1 2a

，+∞）遞增；
（2）由（1）得：g（a）=f（x）_min=f（

1 2a

）=a•

1

2a

-ln

1 2a

=

1

2

（1+ln2a），
∵a＞

1

2

，∴l(xiāng)n2a＞0，∴g（a）＞0，
∴函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．