Question

4．記關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0的解集為P，不等式|x-1|≤3 的解集為Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若Q⊆P，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時，解分式不等式求得集合P．
（2）解絕對值不等式求得Q，分類討論解分式不等式求得P，再根據(jù)Q⊆P求得a的范圍．

解答 解：（1）若a=3，關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0，即 $\frac{x-3}{x+12}$＜0，即 （x-3）（x+12）＜0，
求得-12＜x＜3，故P=（-12，3）．
（2）不等式|x-1|≤3，即-3≤x-1≤3，求得-2≤x≤4，故Q=[-2，4]． 
當(dāng)a＞0時，關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0 的解集為P=（-4a，a），
∵Q⊆P，∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a＜-2}\\{a＞4}\end{array}\right.$，求得a＞4．
當(dāng)a＜0時，關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+4a}$＜0 的解集為P=（a，-4a），
∵Q⊆P，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2}\\{-4a＞4}\end{array}\right.$，求得a＜-2．
當(dāng)a=0，P=∅，不滿足Q⊆P．
綜上可得，a的范圍為{a|a＞4，或a＜-2}．

點評 本題主要考查分式不等式、絕對值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)的思想，屬于中檔題．