Question

【題目】已知函數(shù)．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(3) 若， 求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求出，再用求導(dǎo)的方法求出單調(diào)區(qū)間，極值，從而求出最值；

（2）問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，方法有二：

解法一：對(duì)分類討論，求出；

解法二：分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的最值關(guān)系；

（3）應(yīng)用二次求導(dǎo)，先確定，要證，轉(zhuǎn)為證，利用函數(shù)的單調(diào)性證轉(zhuǎn)為證的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的最值，從而得到結(jié)論.

解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

若，記，則

的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

的最小值為

（2）在上單調(diào)遞增,

當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間恒成立，

即在區(qū)間恒成立，

(I) 若，由（1）知

在定義域上單調(diào)遞增，滿足條件

(II)若，

令，

所以取有，不合題意

綜上所述，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是

(2)法二：

記，則

記,則

在上單調(diào)遞減

(根據(jù)洛比塔法則)

.

（3） 若，，

∴ 在上單減，

當(dāng) 時(shí)，在（0，1）上單增；

當(dāng)時(shí)，在（1，+）上單減；

令，則

其中令

當(dāng)時(shí)，在單減，

在（0，1）上單增，

又在上單調(diào)遞減