Question

7．已知函數(shù)f（x）=2^x．
（1）解方程f（log₄x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]（a＞0）對(duì)x∈[0，15]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）存在x∈（-∞，0]，使|af（x）-f（2x）|＞1成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，f（log₄x）=3?${2}^{{log}_{4}x}$=3，即${2}^{{log}_{2}\sqrt{x}}$=$\sqrt{x}$=3，從而可解得x=9；
（2）利用指數(shù)函數(shù)y=2^x的單調(diào)性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）²]⇒x+1≤（2x+a）²，依題意，整理可得a≥（-2x+$\sqrt{x+1}$）_max，x∈[0，15]．利用換元法可解得a的取值范圍；
（3）令2^x=t，則存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1，分離參數(shù)a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t-$\frac{1}{t}$）_max或a＞（t+$\frac{1}{t}$）_min，解之即可；

解答 解：（1）∵f（x）=2^x，
∴f（log₄x）=3?${2}^{{log}_{4}x}$=${2}^{{log}_{2}\sqrt{x}}$=$\sqrt{x}$=3，解得：x=9，
即方程f（log₄x）=3的解為：x=9；
（2）∵f（x）=2^x，為R上的增函數(shù)，
∴由f（x+1）≤f[（2x+a）²]（a＞0）對(duì)x∈[0，15]恒成立，
得x+1≤（2x+a）²（a＞0）對(duì)x∈[0，15]恒成立，
因?yàn)閍＞0，且x∈[0，15]，所以問題即為$\sqrt{x+1}$≤2x+a恒成立
∴a≥（-2x+$\sqrt{x+1}$）_max，x∈[0，15]．
設(shè)m（x）=-2x+$\sqrt{x+1}$，令$\sqrt{x+1}$=t（1≤t≤4），則x=t²-1，t∈[1，4]，
∴m（t）=-2（t²-1）+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
所以，當(dāng)t=1時(shí)，m（x）_max=1，
∴a≥1．
（3）令2^x=t，∵x∈（-∞，0]，
∴t∈（0，1），
∴存在x∈（-∞，0]，使|af（x）-f（2x）|＞1成立?存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1，
即存在t∈（0，1）使得a＜（t-$\frac{1}{t}$）_max或a＞（t+$\frac{1}{t}$）_min，
∴a≤0或a≥2；

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，閉區(qū)間上的最值的求法，考查函數(shù)方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、考查換元法、構(gòu)造法、配方法的綜合運(yùn)用，屬于難題．