Question

18．求證：
（1）tanA-$\frac{1}{tanA}$=-$\frac{2}{tan2A}$；
（2）sinθ（1+cos2θ）=sin2θcosθ；
（3）sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$；
（4）1+sinα=2cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）；
（5）1-sinα=2cos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式進行證明；
（2）運用二倍角公式可得左邊=sinθ•2cos²θ=（2sinθcosθ）cosθ=sin2θcosθ=右邊，命題得證；
（3）利用降冪公式進行證明即可；
（4）（5）利用誘導公式和降冪公式進行證明．

解答 證明：（1）因為，左邊=tanA-$\frac{1}{tanA}$=$\frac{ta{n}^{2}A-1}{tanA}$，右邊-$\frac{2}{tan2A}$=-$\frac{2}{\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}}$=$\frac{ta{n}^{2}A-1}{tanA}$，
所以，左邊=右邊，
所以tanA-$\frac{1}{tanA}$=-$\frac{2}{tan2A}$；
（2）因為，左邊=sinθ•2cos²θ=（2sinθcosθ）cosθ=sin2θcosθ=右邊，
所以，原等式成立．
（3）sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1}{2}$[1-cos（2×$\frac{α}{4}$）]=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$，即sin²$\frac{α}{4}$=$\frac{1-cos\frac{α}{2}}{2}$．
（4）因為，右邊=1+cos（$\frac{π}{2}$-α）=1+sinα=左邊，
所以，原等式成立．
（5）因為，右邊=1+cos（$\frac{π}{2}$+α）=1-sinα=左邊，
所以，原等式成立．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和證明，考查同角的基本關系式和誘導公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．