Question

數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)．
（1）求數(shù)列的公差及通項(xiàng)a_n．
（2）求前n項(xiàng)和S_n的最大值及相應(yīng)的n的值
（3）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前16項(xiàng)之和S₁₆的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根據(jù)d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6時，S_n取得最大值；
（3）先求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，然后結(jié)合數(shù)列{a_n}的正負(fù)，求出數(shù)列{b_n}的前16項(xiàng)之和S′₁₆=2S₆-S₁₆即可．

解答：解：（1）由已知a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，又d∈Z，
∴d=-4    a_n=27-4n；
（2）∵d＜0，∴{a_n}是遞減數(shù)列，又a₆＞0，a₇＜0
∴當(dāng)n=6時，S_n取得最大值，S₆=6×23+

6×5

2

（-4）=78
（3）S_n=23n+

n(n-1)

2

（-4）=25n-2n²
數(shù)列{b_n}的前16項(xiàng)之和S′₁₆=2S₆-S₁₆=268

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，（2）問d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．