Question

（2013•杭州二模）設(shè)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若{

1

2an+an+1

}是等差數(shù)列，則(

1

2a1

+

1

a2

)+(

1

2a2

+

1

a3

)+…+(

1

2a2012

+

1

a2013

)的值等于（　�。�

A．2012

B．2013

C．3018

D．3019

Answer 1

分析：可設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，首項(xiàng)為l，可求得a_n=q^n-1，利用{

1

2an+an+1

}是等差數(shù)列，可求得q=1，從而可求得（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）的值．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵首項(xiàng)為a₁=l，
∴得a_n=q^n-1，
令b_n=

1

2an+an+1

，則b_n=

1

2qn-1+qn

，
∵{

1

2an+an+1

}是等差數(shù)列，
∴b_n+1-b_n=

1

2qn+qn+1

-

1

2qn-1+qn

=

1

(2+q)qn

-

1

( 2 q +1)qn

=

1-q

(2+q)qn

為定值，
∴1-q=0，q=1．
∴a_n=1，
∴（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）
=（

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2a2012

）+（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

）
=

1

2

×2012+1×2012
=3018．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，求得等比數(shù)列{a_n}的公比q=1是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理與運(yùn)算能力，屬于難題．