Question

已知拋物線y ²=2px及定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0），（ab≠0，b ²≠2pa）．M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M₁，M₂．
求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時（只要M₁，M₂存在且M₁≠M(fèi)₂），直線M₁M₂恒過一個定點(diǎn)．并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：利用A、M、M₁共線，確定M₁，M₂的坐標(biāo)，進(jìn)而可得M₁M₂所在直線方程，分別令m=0，1代入，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證一般性結(jié)論成立．

解答：證明：設(shè)M（

m2

2p

，m）．M₁（

m12

2p

，m₁），M₂（

m22

2p

，m₂），
則A、M、M₁共線，得

b-m

m1-m

=

a- m2 2p

m12 2p - m2 2p

，即b-m=

2pa-m2

m1+m

2pa-m2

m1+m

．
∴m₁=

2pa-bm

b-m

，同法得m₂=

2pa

m

；
∴M₁M₂所在直線方程為

y-m2

m1-m2

=

2pa-m22

m12-m22

，即（m₁+m₂）y=2px+m₁m₂．
消去m₁，m₂，得2paby-bm²y=2pbmx-2pm²x+4p²a²-2pabm．（1）
分別令m=0，1代入，得x=a，y=

2pa

b

，
以x=a，y=

2pa

b

代入方程（1）知此式恒成立．
即M₁M₂過定點(diǎn)（a，

2pa

b

）

點(diǎn)評：本題考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確表示M₁M₂所在直線方程是關(guān)鍵．