Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=4，前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=a_n+1+n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令b_n=

2n-1+1

nan

，數(shù)列{b_n²}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：?n∈N^*，T_n＜

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)S_n=a_n+1+n，利用a_n=S_n-S_n-1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出b₁=

1

2

，b_n=

1

n

，（n≥2），從而得到當(dāng)k≥2時(shí)，bk2＜

1

k-1

-

1

k

，由此能夠證明對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

解答： （Ⅰ）解：數(shù)列{a_n}中，
∵a₁=4，前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=a_n+1+n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1+n-a_n-（n-1），
∴a_n+1=2a_n-1，a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2），（4分）
又∵a₁=S₁=a₂+1，a₁=4，解得a₂=3，
∴a_n-1=（a₂-1）•2^n-2=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1，n≥2，（6分）
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

．（7分）
（Ⅱ）證明：∵a_n=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

，b_n=

2n-1+1

nan

，
∴b1=

1+1

4

=

1

2

，
b_n=

2n-1+1

n(2n-1+1)

=

1

n

，n≥2，
則當(dāng)k≥2時(shí)，有bk2=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，（9分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn=

1

4

+

n

k=2

bk2＜

1

4

+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]
=

1

4

+(1-

1

n

)＜

5

4

．（12分）
又n=1時(shí)，T1=b12=

1

4

＜

5

4

，
∴對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．