Question

對(duì)于一切x∈[-2，

1

2

]，不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分x=0，x＞0，x＜0三種情況討論，分離參數(shù)a后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；
當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，不等式ax³-x²+x+1≥0等價(jià)于a≥-

1

x3

-

1

x2

+

1

x

．
設(shè)t=

1

x

 （t≥2），則f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
當(dāng)t≥2時(shí)，f′（t）＜0，∴f（t）=-t³-t²+t為減函數(shù)，∴f（t）_max=f（2）=-10，
∴a≥-10；
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，不等式ax³-x²+x+1≥0等價(jià)于a≤-

1

x3

-

1

x2

+

1

x

．
設(shè)t=

1

x

 （t≤-

1

2

），則f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
當(dāng)t∈（-∞，-1）時(shí)，f′（t）＜0，f（t）為減函數(shù)，當(dāng)t∈（-1，-

1

2

）時(shí)，f′（t）＞0，f（t）為增函數(shù)，
∴f（t）_min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
綜上，對(duì)于一切x∈[-2，

1

2

]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-10，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中高檔題．