Question

如圖，橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率，M，N是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)椋?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111611284050071/SYS201312021116112840500019_DA/0.png">，且過點(diǎn)，列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；
（2）設(shè)點(diǎn)M（4，y₁），N（4，y₂）寫出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到y(tǒng)₁y₂=-15，又，結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標(biāo)和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x²-8x+1=0從而得出圓C過定點(diǎn)．
解答：解：（1）∵，且過點(diǎn)，
∴解得
∴橢圓方程為．（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（4，y₁），N（4，y₂）則，，
∴y₁y₂=-15，
又∵，
∴MN的最小值為．
（3）圓心C的坐標(biāo)為，半徑．
圓C的方程為，
整理得：x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+16+y₁y₂=0．∵y₁y₂=-15，∴x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+1=0
令y=0，得x²-8x+1=0，∴．∴圓C過定點(diǎn)．
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．