Question

f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

Answer 1

解：(1)f′(x)＝a＋

又∀x>0，f′(x)≥0，

∴ax²－ln x＋1≥0，∀x>0，

則h′(x)＝＝0有根：x₀＝e，

x∈(0，x₀)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)增；

x∈(x₀，＋∞)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)減；

∴a≥h(x)_max＝h(x₀)＝；

故實數(shù)a的取值范圍是.

(2)由題g(x)＝xf(x)＝ax²＋x＋ln x＝0，即a＝有唯一正實數(shù)根，

令φ(x)＝，即函數(shù)y＝a與函數(shù)y＝φ(x)有唯一交點，

再令R(x)＝x－1＋2ln x，R′(x)＝1＋>0，∀x>0，R(x)為增函數(shù)，且易得R(1)＝0.

∴當x∈(0,1)時，R(x)<0，φ′(x)<0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減；

當x∈(1，＋∞)時，R(x)>0，φ′(x)>0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增．

即φ(x)≥φ(1)＝－1，

又當x→0時，φ(x)→＋∞，

而當x→＋∞時，φ(x)→0且φ(x)<0，

故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為：{a|a≥0或a＝－1}．