Question

14．如圖所示，放置在水平上的組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱柱B-ABCD組成（D在B₁B的延長線上），它的正視圖，俯視圖，側(cè)視圖的面積分別為$2\sqrt{2}+1，2\sqrt{2}+1，1$．
（Ⅰ） 求證：AB⊥BC₁；
（Ⅱ） 求直線CA₁與平面ACD所成角的正弦值；
（Ⅲ） 在線段AC₁上是否存在點P，使B₁P⊥平面ACD，若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據(jù)正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為$2\sqrt{2}+1，2\sqrt{2}+1，1$，從而可確定BA，BB₁的長．以點B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，可得AB⊥BC₁；
（Ⅱ）求出平面ACD的法向量，進(jìn)而可利用夾角公式求出直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（Ⅲ）假設(shè)存在$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{2}m$，2m，-$\sqrt{2}m$），利用$\overrightarrow{{B}_{1}P}$與平面ACD的法向量，得方程即可求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)BA=BC=BD=a，BB₁=b，由條件$\left\{\begin{array}{l}{ab+\frac{1}{2}{a}^{2}=2\sqrt{2}+1}\\{\frac{1}{2}{a}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
以點B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：A（0，0，$\sqrt{2}$），C（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
B1（0，2，0），C1（$\sqrt{2}$，2，0），A1（0，2，$\sqrt{2}$），（5分）
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，2，0），
∴由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，可得AB⊥BC₁；
（Ⅱ）∵△ACD的重心G（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），∴$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{BG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為平面ACD的法向量．（7分）
又$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{2}$），則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{C{A}_{1}}$＞=$\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（9分）
∴所求角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（10分）
（Ⅲ）令$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{2}$m，2m，-$\sqrt{2}$m），（11分）
∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}=\overrightarrow{{B}_{1}A}+\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}m$，2m-2，$\sqrt{2}-\sqrt{2}m$）=$λ\overrightarrow{a}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{\sqrt{2}m=\frac{\sqrt{2}λ}{3}}{2m-2=-\frac{\sqrt{2}λ}{3}}}\\{\sqrt{2}-\sqrt{2}m=\frac{\sqrt{2}λ}{3}}\end{array}\right.$，可得無解．
∴不存在滿足條件的點P．

點評 本題以組合體為載體，主要考查了直線與平面垂直的判定，線面角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，屬于中檔題．