Question

7．過(guò)點(diǎn)P（-3，-4）作直線l，當(dāng)l的斜率為何值時(shí)
（1）l將圓（x-1）²+（y+2）²=4平分？
（2）l與圓（x-1）²+（y+2）²=4相切？
（3）l與圓（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心Q（1，-2）時(shí)，可將圓（x-1）²+（y+2）²=4平分，利用點(diǎn)斜式即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：y+4=k（x+3），化為kx-y+3k-4=0，根據(jù)直線l與圓相切，可得圓心Q（1，-2）到直線l的距離d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可．
（3）由于l與圓（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2，可得直線l的距離d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$，解出k即可．

解答 解：（1）當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心Q（1，-2）時(shí)，可將圓（x-1）²+（y+2）²=4平分，
∴直線l的方程為：y+2=$\frac{-4-（-2）}{-3-1}$（x-1），化為x-2y-5=0．
（2）設(shè)直線l的方程為：y+4=k（x+3），化為kx-y+3k-4=0，
∵直線l與圓相切，
∴圓心Q（1，-2）到直線l的距離d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，化為：3k²-4k=0，
解得k=0或$\frac{4}{3}$．∴當(dāng)k=0或$\frac{4}{3}$時(shí)，直線l與圓相切．
（3）∵l與圓（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2，
∴直線l的距離d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$，化為13k²-16k+1=0，
解得k=$\frac{8±\sqrt{51}}{13}$．
∴當(dāng)k=$\frac{8±\sqrt{51}}{13}$時(shí)，滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．