Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（n）=

1

n+a1

+

2

n+a2

+

3

n+a3

+…+

n

n+an

（n∈N，且n≥2）求函數(shù)f（n）的最小值；
（3）設(shè)b_n=

1

an

，S_n表示數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和．試問：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的定義性質(zhì)求解可得．
（2）把f（n），f（n+1）表示出來，作差判斷，增減性，求解可得．
（3）列出S_n=1++

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1運(yùn)用遞推關(guān)系式列式判斷．

解答： 解：（1）由題意得，點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，
所以a_n-a_n+1+1=0，即a_n+1-a_n=1，
則數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，
所以a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得，f（n）=

1

n+a1

+

2

n+a2

+

3

n+a3

+…+

n

n+an

=

1

n+1

+

2

n+2

+…+

n

2n

，
則f（n+1）=

1

n+2

+

2

n+3

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，
所以f（n+1）-f（n）=-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

f（n+1）-f（n）＞0
∴f（n）是增函數(shù)，
故f（n）的最小值是f（2）=

5

6

．
（3）∵b_n=

1

n

，∴S_n=1++

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
即nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1，…，S₂-S₁=S₁+1．
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）．n，（n≥2），
故存在關(guān)于n的整式g（n）=n，使等式對于一切小于2的自然數(shù)n恒成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列的性質(zhì)，與函數(shù)的結(jié)合，探索存在性問題．