Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，且對任意實數(shù)x，f（x）-f′（x）＞1恒成立，則f（x）＞e^x+1的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)h（x）=e^-x•f（x）-e^-x-1，則不等式f（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出不等式f（x）＞e^x+1的解集．

解答： 解：設(shè)h（x）=e^-x•f（x）-e^-x-1，
則不等式f（x）＞e^x+1同解于e^-x•f（x）＞e^-x+1，
不等式f（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．
h（0）=1×2-1-1=0，
h′（x）=-e^-x[f（x）-f′（x）]+e^-x，
∵[f（x）-f′（x）]＞1，
∴對于任意 x∈R，
e^-x[f（x）-f′（x）]＞e^-x，
∴h′（x）=-e^-x[f（x）-f′（x）]+e^x＜0．
即h（x）在實數(shù)域內(nèi)單調(diào)遞減．
∵h（0）=0，
∴當 x＜0 時，f（x）＞0；當 x＞0 時，f（x）＜0．
∴不等式f（x）＞e^x+1的解集為：{x|x＜0}．
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用．