Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為1．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P（m，0）為橢圓C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且斜率為 的直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：|PA|2+|PB|2是否為定值？若是，求出這個(gè)定值并證明，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（ I）由過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為1，

可知橢圓C過(guò)點(diǎn) ，∴ ，

又∵e= = ，a2=b2+c2；

三式聯(lián)立解得 ，

∴橢圓的方程為 +y2=1；

（ II）設(shè)P（m，0）（且﹣2≤m≤2），由已知，直線(xiàn)l的方程是y= （x﹣m），

由 ，消去y得，2x2﹣2mx+m2﹣4=0，（*）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程（*）的兩個(gè)根，

所以有，x1+x2=m，x1x2= ，

所以，|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22

=（x1﹣m）2+ （x1﹣m）2+（x2﹣m）2+ （x2﹣m）2

= [（x1﹣m）2+（x2﹣m）2]

= [x12+x22﹣2m（x1+x2）+2m2]

= [（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]

= [m2﹣2m2﹣（m2﹣4）+2m2]=5（為定值）；

所以，|PA|2+|PB|2為定值

【解析】（Ⅰ）利用橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)設(shè)出橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)出P，直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，設(shè)出A、B坐標(biāo)，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算|PA|2+|PB|2，化簡(jiǎn)求解即可．