Question

在一場娛樂晚會上, 有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱, 由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名選手, 其中觀眾甲是1號歌手的歌迷, 他必選1號, 不選2號, 另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛, 因此在1至5號中隨機選3名歌手．
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;
（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和, 求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

（1）
（2）

X	0	1	2	3
P

本題考查涉及排列組合、概率、隨機變量分布列和期望問題，（1）問中考查了“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”互斥事件同時發(fā)生的概率，也可以利用樹形圖解決。（2）問中要注意分布列性質運用，驗證概率總合是否為1。此類問題在高考中屬于常考重點題型，必須熟練掌握。
（1）由于觀眾甲必選1，不選2，則觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為，甲乙選票彼此獨立，故觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為．
（2）X的所有可能取值為0,1,2,3．由（1）知，觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙選中3號歌手的概率為，則觀眾丙選中3號歌手的概率也為，則
,,
,．
則X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

 
。
點評：本題考查排列組合、概率、隨機變量分布列和期望問題。屬于中檔題。