Question

如圖，已知圓G：x²-x+y²=0，經過拋物線y²=2px的焦點，過點（m，0）（m＜0）傾斜角為

π

6

的直線l交拋物線于C，D兩點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）圓G：x²-x+y²=0與x軸交于（0，0），（1，0），從而拋物線y²=2px的焦點F（1，0），由此能求出拋物線的方程．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，設l的方程為：y=

3

3

(x-m)，則4x1x2-(m+3)(x1+x2)+3+m2＞0，由

y= 3 3 (x-m) y2=4x

，得x²-（2m+12）x+m²=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵圓G：x²-x+y²=0與x軸交于（0，0），（1，0），
圓G：x²-x+y²=0，經過拋物線y²=2px的焦點，
∴拋物線y²=2px的焦點F（1，0），
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵

FC

•

FD

＞0，則（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，
設l的方程為：y=

3

3

(x-m)，
于是(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+

1

3

(x1-m)(x2-m)=

1

3

[4x1x2-(m+3)(x1+x2)+3+m2]＞0
即4x1x2-(m+3)(x1+x2)+3+m2＞0
由

y= 3 3 (x-m) y2=4x

，得x²-（2m+12）x+m²=0，
∴x1+x2=2m+12，x1x2=m2，
于是4x1x2-(m+1)(x1+x2)+3+m2=4m2-(m+3)(2m+12)+3+m2=3m2-18m-33＞0，
故m＞2

5

+3或m＜-2

5

+3，
又△=（2m+12）²-4m²＞0，得到m＞-3．
∴-3＜m＜-2

5

+3．

點評：本題考查拋物線的方程的求法，考查m的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意圓、韋達定理、拋物線等基礎知識的靈活運用．