Question

（2013•黃浦區(qū)二模）已知(3+x)+(3+x)2+(3+x)3+…+(3+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且A_n=a₀+a₁+a₂+…+a_n，則

lim

n→∞

An

4n

=

4

3

．

Answer 1

分析：由題意令x=1可得 A_n=4+4²+4³+…+4ⁿ，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得它的結(jié)果，再利用極限的運(yùn)算法則求得

lim

n→∞

An

4n

的值．

解答：解：在已知的等式中，令x=1可得 4+4²+4³+…+4ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
再由 A_n=a₀+a₁+a₂+…+a_n ，可得 A_n=4+4²+4³+…+4ⁿ=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)，
故

lim

n→∞

An

4n

=

lim

n→∞

 

4(4n-1)

3×4n

=

lim

n→∞

 

4

3

(1-

1

4n

)=

4

3

，
故答案為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的極限的方法，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．注意根據(jù)題意，
分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于中檔題．