Question

已知函數(shù)若存在函數(shù)使得恒成立，則稱是的一個(gè)“下界函數(shù)”.

（I） 如果函數(shù)為實(shí)數(shù)為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) 試問函數(shù)是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I） （Ⅱ）函數(shù)不存在零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（I）解法一：由 得          1分

記則                   2分

當(dāng)時(shí)， 所以在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， 所以在上是增函數(shù)，     3分

因此 即                 5分

解法二：由 得 

設(shè)則                1分

（1）若由知

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，          2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061610241074303433/SYS201306161024476492479377_DA.files/image023.png">恒成立，所以解得      3分

（2）若當(dāng)且時(shí)，

此與恒成立矛盾，故舍去；               4分

綜上得                            5分

（Ⅱ）解法一：函數(shù)

由（I）知即                6分

                 7分

設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061610241074303433/SYS201306161024476492479377_DA.files/image040.png"> 所以 即            8分

（2）當(dāng)時(shí)，         9分

綜上知 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).              10分

解法二：前同解法一，      7分

記 則

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

因此                    9分

故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).              10分

解法三：前同解法一， 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061610241074303433/SYS201306161024476492479377_DA.files/image040.png">故         7分

設(shè)函數(shù)

因此即                    9分

故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).                10分

解法四：前同解法一，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061610241074303433/SYS201306161024476492479377_DA.files/image040.png">故          7分

從原點(diǎn)作曲線的切線設(shè)切點(diǎn)為，

那么把點(diǎn)代入得所以

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即         9分

故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).               10分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及函數(shù)零點(diǎn)問題。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的單調(diào)性及最值。涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題，研究了函數(shù)的單調(diào)性及在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)。