Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k
（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；
（3）對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線PA過(guò)原點(diǎn)和斜率公式，即可求出k的值；
（2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點(diǎn)P，A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得點(diǎn)P到直線AB的距離d；
（3）要證PA⊥PB，只需證直線PB與直線PA的斜率之積為-1，根據(jù)題意求出它們的斜率，即證的結(jié)果．

解答：解：（1）由題設(shè)知，a=2，b=

2

，
故M（-2，0），N（0，-

2

），所以線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-

2

2

）．
由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)原點(diǎn)，
所以k=

2

2

．
（2）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得

x2

4

+

4x2

2

=1，解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

）
于是C（

2

3

，0），直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為x-y-

2

3

=0．
因此，d=

| 2 3 - 4 3 - 2 3 |

1+1

=

2 2

3

．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
A（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k₁，k₂．
因?yàn)镃在直線AB上，所以k₂=

0-(-y1)

x1-(-x1)

=

y1

2x1

=

k

2

，
從而kk₁+1=2k₁k₂+1=2•

y2-y1

x2- x1

•

y2-(-y1)

x2-(-x1)

+1=

2 y 2 2 -2 y 2 1

x 2 2 - x 2 1

+1
=

x 2 2 +2 y 2 2 -( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

=

4-4

x22-x12

=0．
因此kk₁=-1，所以PA⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及直線斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．