Question

16．已知F為拋物線y²=x的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=6（O為坐標原點），則△ABO與△AOF面積之和的最小值為（　　）

• A． 4
• B． $\frac{3\sqrt{13}}{2}$
• C． $\frac{17\sqrt{2}}{4}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先設(shè)直線方程和點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=6消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，
點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB與x軸的交點為M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，
根據(jù)韋達定理有y₁•y₂=-m，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，從而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵點A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-3，故m=3．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（$\frac{1}{4}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×3×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$y₁=$\frac{13}{8}$y₁+$\frac{9}{2{y}_{1}}$
≥2$\sqrt{\frac{9×13}{16}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
當且僅當$\frac{13}{8}$y₁=$\frac{9}{2{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$時，取“=”號，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
故選：．

點評 求解本題時，應(yīng)考慮以下幾個要點：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．